ВИРІШЕННЯ ОСНОВНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ДЕФОРМАЦІЙ ОБСАДНОЇ КОЛОНИ У ВИКРИВЛЕНІЙ СВЕРДЛОВИНІ

Анотація

Колонa обсадних труб у криволінійній свердловині працює як довгий нерозрізний стрижень. Вона встановлена на опори-центратори і повторює складний профіль свердловини, внаслідок чого отримує великі деформації. Для їх описання складено систему диференціальних рівнянь рівноваги внутрішніх та зовнішніх сил і моментів, яку доповнено до замкненого вигляду диференціальним рівнянням кривизни. Вона є неоднорідною, тому що враховує власну розподілену вагу стрижня. Запропоновано два шляхи розв’язання задачі: методом математичної компресії рівнянь системи у комплексне неоднорідне диференціальне рівняння або методом проекціювання рівнянь рівноваги сил на глобальну (вертикаль-горизонталь) та на локальну (дотична-нормаль) системи координат. Показано, що перший інтеграл системи можна знайти також за рівняннями рівноваги ділянки викривленого стрижня скінченої довжини. Цей інтеграл має вигляд неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами та є основним рівнянням, яке описує деформування довгого пружного стрижня під дією поздовжньої і поперечної складових сил розподіленої ваги. Головною вимогою технології є встановлення колони труб на центрувальних опорах, метою якого є забезпечення співвісності труб і стінок свердловини та створення між ними цементного кільця однакової товщини і міцності. Врахування цієї вимоги дозволило лінеаризувати основне рівняння. За його розв’язком знайдено вирази прогинів, кутових деформацій, внутрішніх згинальних моментів та поперечних сил у стрижні з довільними розташуванням опор і граничними умовами в опорних перетинах. Розв’язок основного диференціального рівняння кутових деформацій довгого стрижня знайдено у вигляді лінійної комбінації функцій Ейрі і Скорера та у вигляді трьох лінійно незалежних поліноміальних рядів у сумі з частинним розв’язком. Одержані вирази деформаційних і силових параметрів дають змогу розрахувати напруження і деформації колони труб під час технологічного процесу кріплення свердловини довільного профілю, що дозволяє підвищити надійність і довговічність її експлуатації.